高中数学-向量篇（持续更新）

这里是关于向量运算的题目题解，题目质量大概参差不齐。

向量在现代数学和物理中有着很重要的作用，指的是一种具有大小和方向的量。又叫做矢量( Vector-wikipedia)

题目
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1.已知向量 $ \vec{OA}, \vec{OB} $ 满足 $ |OA| = |OB| = 1, \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0, \vec{OC} = \lambda \ \vec{OA} + \mu \ \vec{OB} (\lambda ,\mu \in \mathbb{R}) $. 若 $ M $ 为 $ AB $ 的中点，并且 $ |\vec{MC}| = 1 $，则点 $ (\lambda , \mu) $ 在 ( )

A. 以 $ (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆上.

B. 以 $ (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆上.

C. 以 $ (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆上.

D. 以 $ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆上.

题解：

假设 $ A $ 点的坐标为 $ (x_0, y_0), B $ 点的坐标为 $ (x_1, y_1) $.

由题目前2个条件知：

$$ x_0 ^2 + y_0 ^2 = 1, x_1 ^2 + y_1 ^2 = 1, x_0 \ x_1 + y_0 \ y_1 = 0 $$

将 $ A,B $ 点坐标带入第3个条件：$ \vec{OC} = \lambda \ \vec{OA} + \mu \ \vec{OB} (\lambda ,\mu \in \mathbb{R}) $

于是求出 $ C $ 的坐标：$ (\lambda \ x_0 + \mu \ x_1, \lambda \ y_0 + \mu \ y_1) $

$ M $ 是 $ AB $ 的中点，所以得到 $ M $ 的坐标为：$ (\frac{x_1 - x_0}{2}, \frac{y_1 - y_0}{2}) $

又因为 $ |\vec{MC}| = 1 $, 把上面 $ M, C $ 的坐标代入进行计算并化简，最终可得：$ (\lambda + \frac{1}{2})^2 + (\mu - \frac{1}{2})^2 = 1 $